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On 17.04.2020
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In a monograph on moonshine theory , Terry Gannon calls this equation "one of the most remarkable formulae in science". The n th partial sum is given by a simple formula:.

This equation was known to the Pythagoreans as early as the sixth century BCE. The divergence is a simple consequence of the form of the series: the terms do not approach zero, so the series diverges by the term test.

Many summation methods are used to assign numerical values to divergent series, some more powerful than others. More advanced methods are required, such as zeta function regularization or Ramanujan summation.

The latter series is also divergent, but it is much easier to work with; there are several classical methods that assign it a value, which have been explored since the 18th century.

These relationships can be expressed using algebra. Then multiply this equation by 4 and subtract the second equation from the first:.

Accordingly, Ramanujan writes:. Generally speaking, it is incorrect to manipulate infinite series as if they were finite sums. For example, if zeroes are inserted into arbitrary positions of a divergent series, it is possible to arrive at results that are not self-consistent, let alone consistent with other methods.

For an extreme example, appending a single zero to the front of the series can lead to inconsistent results. One way to remedy this situation, and to constrain the places where zeroes may be inserted, is to keep track of each term in the series by attaching a dependence on some function.

The implementation of this strategy is called zeta function regularization. The latter series is an example of a Dirichlet series. The benefit of introducing the Riemann zeta function is that it can be defined for other values of s by analytic continuation.

The eta function is defined by an alternating Dirichlet series, so this method parallels the earlier heuristics.

Where both Dirichlet series converge, one has the identities:. Smoothing is a conceptual bridge between zeta function regularization, with its reliance on complex analysis , and Ramanujan summation, with its shortcut to the Euler—Maclaurin formula.

Instead, the method operates directly on conservative transformations of the series, using methods from real analysis.

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